НЕРІВНОСТІ КОШІ-БУНЯКОВСЬКОГО І ГЕЛДЕРА ТА ЇХНЄ УЗАГАЛЬНЕННЯ
DOI:
https://doi.org/10.31110/2413-1571-2023-038-2-002Ключові слова:
нерівність Коші-Буняковського, нерівність Гелдера, вектор, координати вектора, лінійний простір, норма, нерівність трикутника, середнє степеневеАнотація
Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші-Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад.
Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші-Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності.
Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші.
Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші-Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах.
Завантажити
Посилання
Aldaz, J. M., Barza, S., Fujii, M., & Moslehian, M. S. (2015). Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses. Annals of Functional Analysis, 6 (3), 275–295, https://doi.org/10.15352/afa/06-3-20.
Bokhonov, Yu.Ye. (2021). Matematychnyy analiz: Dyferentsialʹne chyslennya funktsiy odniyeyi zminnoyi [Mathematical analysis: Differential calculus of functions of one variable]. КПІ. Tutorial. Kyiv: KPI named after Igor Sikorskiy. (In Ukrainian).
Mitrinovic, D. S., & Pecaric, J. E. (1993). Springer Science+Bisiness Media Dordrecht, 83-99. https://books.google.ru/books?id=A0XwCAAAQBAJ&pg=PA83&hl=ru&source=gbs_toc_r&cad=3#v=onepage&q&f=false
Steele, J.M. (2004). The Cauchy_Schwarz Master Class. Cambridge University Press.
Bokhonov, Yu.Ye. (2022). Uzahalʹnennya nerivnostey Koshi-Bunyakovsʹkoho ta Heldera [Generalization of the Cauchy-Buniakowski and Helder inequalities]. Science in the context of global transformation of society. Materials of the scientific and practical conference (Poltava, August 26-27, 2022), Odesa: "Young Scientist" Publishing House. https://molodyivchenyi.ua/omp/index.php/conference/catalog/book/8 (In Ukrainian).
Zhuravsʹka, H.V., & Shramenoko, V.M. (2010). Nerivnosti: Metodychni vkazivky do kursiv liniynoyi alhebry ta matematychnoho analizu [Inequalities: Guidelines for Linear Algebra and Mathematical Analysis Courses.]. K.: KPI named after Igor Sikorskiy. https://mph.kpi.ua/assets/img/Shramenko-V.M/neravenstva1.pdf (In Ukrainian).
Martynenko, O. V., & Chkana, Ya. O. (2017). Vykorystannya metodiv matematychnoho analizu dlya dovedennya nerivnostey [Using methods of mathematical analysis to prove inequalities]. Current issues of science and mathematics education, 1(9), 35–44. http://elibrary.kdpu.edu.ua/bitstream/0564/1362/2/APPMO_N9_2017.pdf (In Ukrainian).
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Категорії
Як цитувати
Ліцензія
Авторське право (c) 2023 Юрій Бохонов, Тетяна Бохонова
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
- Автори передають журналу право першої публікації свого рукопису на умовах ліцензії Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0), котра дозволяє іншим особам вільно використовувати (читати, копіювати і роздруковувати) представлені матеріали, здійснювати пошук та посилатись на опубліковані статті, поширювати їх повний текст з будь-якою законною некомерційною метою (у тому числі, з навчальною або науковою) та обов'язковим посиланням на авторів робіт і первинну публікацію у цьому журналі.
- Опубліковані оригінальні статті в подальшому не можуть використовуватись користувачами (окрім авторів) з комерційною метою або поширюватись сторонніми організаціями-посередниками на платній основі.
Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0)