ВИКОРИСТАННЯ МАТРИЧНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЗАДАЧАХ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ З ПОХІДНИМИ БАГАТОВИМІРНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ
DOI:
https://doi.org/10.31110/fmo2025.v40i5-03Ключові слова:
матричне числення, багатовимірне відображення, похідна, диференціювання, заміна зміннихАнотація
Формулювання проблеми. В задачах заміни змінних в диференціальних виразах, що містять похідні від багатовимірних відображень пропонується використання глобальних конструкцій, зокрема, матриці Якобі відображення. При цьому досягається формалізація, що допомагає розумінню ідейної сторони проблеми. Пропонована техніка особливо ефективно працює в найбільш складних задачах, коли треба перейти до нових як незалежних змінних, так і залежної.
Матеріали і методи. Для застосування замін в диференціальних виразах, що містять частинні похідні функцій від багатьох змінних, широко застосовуються матриці Якобі відображень, їхня поведінка при переході до нових змінних, формула диференціювання складеного відображення. При цьому найбільш корисним є використання похідної в позначеннях Лейбниця. Методика суттєво відрізняється від тих, що можна зустріти в численних посібниках. Треба зазначити, що вказана тематика входить, як правило, в програми вищих навчальних закладів з підвищеним рівнем вивчення математичного аналізу.
Результати. Розглянуто задачі, пов’язані з перетвореннями диференціальних виразів, в яких старі змінні виражаються через нові, а також нові змінні – через старі. Приклади охоплюють основні задачі на вказану тему, причому, також і підвищеної складності. Переконливо доведено, що в таких задачах ефективно працює матричне числення, а саме, матриця Якобі диференційовного відображення.
Висновки. Пропонована робота робить наголос на активному використанні матричної техніки в задачах перетворення змінних в диференціальних виразах, зокрема, диференціальних рівняннях першого порядку з багатьма змінними. Таким чином матриця Якобі постає як дійова конструкція, що робить процес перетворень більш зрозумілим і природним. Використання матриці Якобі допомагає студентам краще зрозуміти матеріал, робить розв’язання більш легким. Методика може бути пропонована також у курсах диференціальних рівнянь – звичайних і з частинними похідними.
Завантажити
Посилання
Bokhonov, Yu. Ye. (2021). Matematychnyi analiz. Chastyna 2. Dyferentsialne chyslennia funktsii kilkokh diisnykh zminnykh. Intehraly, shcho zalezhat vid parametra: navch. posib. dlia stud. spetsialnosti 122 «Komp’iuterni nauky» [Mathematical analysis. Part 2. Differential calculus of functions of several real variables. Integrals depending on the parameter: a textbook for students of specialty 122 "Computer science"]. KPI im. Ihoria Sikorskoho. Kyiv : KPI im. Ihoria Sikorskoho. https://ela.kpi.ua/handle/123456789/56825 (in Ukrainian).
Bokhonov, Yu. (2024). Zastosuvannia tenzornoi alhebry v dyferentsialnomu chyslenni bahatovymirnykh vidobrazhen [Application of tensor algebra in the differential calculus of multidimensional mappings]. Fizyko-matematychna osvita – Physical and Mathematical Education, 39(3), 24-30. https://doi.org/10.31110/fmo2024.v39i3-03 (in Ukrainian).
Liashko, I. I., Yemelianov, V. F. & Boiarchuk O. K. (1992). Matematychnyi analiz [Mathematical Analysis], chastyna 1. Kyiv: «Vyshcha shkola». https://chtyvo.org.ua/authors/Liashko_Ivan/Matematychnyi_analiz_Chastyna_1/ (in Ukrainian).
Dorohovtsev, A. Ya. (1993). Matematychnyi analiz: pidruchnyk [Mathematical Analysis: Textbook]. K.: "Lybid". https://pdf.lib.vntu.edu.ua/books/2015/Dorogovtsev_P1_1993_320.pdf (in Ukrainian).
Shkil, M. I. (2005). Matematychnyi analiz: pidruchn. u 2-kh ch. [Mathematical Analysis: Textbook in 2 parts]. K.: Vyshcha shkola, https://pdf.lib.vntu.edu.ua/books/2015/Shkil_P2_2005_510.pdf (in Ukrainian).
Dubovyk, V. P. & Yuryk, I. I. (2013). Vyshcha matematyka: navch. posib. dlia stud. vyshch. navch. zak. [Higher Mathematics: Textbook for Students of Higher Education]. 4-te vyd. K. : Ihnateks-Ukraina. https://pdf.lib.vntu.edu.ua/books/Dubovik_P1_2008_200.pdf (in Ukrainian).
Forster, O. (2001). Analysis 1 – 3 (in German), Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik, Vieweg, Braunschweig.
Laczkovich, M., & T. Sós, V. (2017). Real Analysis (Vol. 3). Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4939-7369-9
Kantorovitz, S. (2016). Several Real Variables. Springer Cham. Springer Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-27956-5
Fleming, W. (1977). Functions of Several Variables. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9461-7
Dieudonné, J. (1969). Foundations of Modern Analysis. Academic Press.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Категорії
Як цитувати
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Юрій Бохонов
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
- Автори передають журналу право першої публікації свого рукопису на умовах ліцензії Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0), котра дозволяє іншим особам вільно використовувати (читати, копіювати і роздруковувати) представлені матеріали, здійснювати пошук та посилатись на опубліковані статті, поширювати їх повний текст з будь-якою законною некомерційною метою (у тому числі, з навчальною або науковою) та обов'язковим посиланням на авторів робіт і первинну публікацію у цьому журналі.
- Опубліковані оригінальні статті в подальшому не можуть використовуватись користувачами (окрім авторів) з комерційною метою або поширюватись сторонніми організаціями-посередниками на платній основі.
Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0)