THE INEQUALITIES OF HELDER AND MINKOVSKY AND THEIR GENERALIZATIONS

НЕРІВНОСТІ ГЕЛЬДЕРА ТА МІНКОВСЬКОГО ТА ЇХНІ УЗАГАЛЬНЕННЯ

Анотація

Постановка задачі. Велика кількість математичної літератури присвячена класичним нерівностям. Нерівності Гельдера, окремим випадком яких є нерівність Коші-Буняковського, а також нерівність Мінковського, що є нерівністю многокутника в нормованому просторі, які лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів – скінченних та нескінченновимірних. У статті розглядається узагальнення цих конструкцій – як у дискретній формі, тобто для скінченних сум та рядів, так і для інтегралів. Істотно, що нерівності для сум доводяться елементарними методами, без використання диференціального числення. Отримані результати можуть бути використані в науковій діяльності для обчислення деяких виразів у вигляді сум або інтегралів, а також учнями при підготовці до олімпіад і навіть для вивчення математики в шкільних гуртках.

Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Мінковського та інтегральних нерівностей Гельдера та Мінковського використана узагальнена нерівність Гельдера для сум, яка була раніше отримана автором і, у свою чергу, була виведена з нерівності Коші.

Результати. Було доведено узагальнені нерівності Мінковського – для скінченних сум та нескінченних рядів з невід'ємними членами та інтеграл для невід'ємних функцій, а також узагальнену інтегральну нерівність Гельдера та, в окремому випадку, нерівність Коші-Буняковського.

Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Гельдера та Мінковського для сум, рядів та інтегралів є досить ефективним методом, який дозволяє отримати цікаві наслідки, важливі оцінки – потрібно лише успішно вибрати скінченновимірні або нескінченновимірні вектори чи функції та застосувати до них доведені нерівності. На цьому шляху є великий простір для творчої діяльності.