ВИКОРИСТАННЯ МАТРИЧНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЗАДАЧАХ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ З ПОХІДНИМИ БАГАТОВИМІРНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ - Бохонов, Юрій (Фізико-математична освіта, 2025)
Формулювання проблеми. В задачах заміни змінних в диференціальних виразах, що містять похідні від багатовимірних відображень пропонується використання глобальних конструкцій, зокрема, матриці Якобі відображення. При цьому досягається формалізація, що допомагає розумінню ідейної сторони проблеми. Пропонована техніка особливо ефективно працює в найбільш складних задачах, коли треба перейти до нових як незалежних змінних, так і залежної. Матеріали і методи. Для застосування замін в диференціальних виразах, що містять частинні похідні функцій від багатьох змінних, широко застосовуються матриці Якобі відображень, їхня поведінка при переході до нових змінних, формула диференціювання складеного відображення. При цьому найбільш корисним є використання похідної в позначеннях Лейбниця. Методика суттєво відрізняється від тих, що можна зустріти в численних посібниках. Треба зазначити, що вказана тематика входить, як правило, в програми вищих навчальних закладів з підвищеним рівнем вивчення математичного аналізу. Результати. Розглянуто задачі, пов’язані з перетвореннями диференціальних виразів, в яких старі змінні виражаються через нові, а також нові змінні – через старі. Приклади охоплюють основні задачі на вказану тему, причому, також і підвищеної складності. Переконливо доведено, що в таких задачах ефективно працює матричне числення, а саме, матриця Якобі диференційовного відображення. Висновки. Пропонована робота робить наголос на активному використанні матричної техніки в задачах перетворення змінних в диференціальних виразах, зокрема, диференціальних рівняннях першого порядку з багатьма змінними. Таким чином матриця Якобі постає як дійова конструкція, що робить процес перетворень більш зрозумілим і природним. Використання матриці Якобі допомагає студентам краще зрозуміти матеріал, робить розв’язання більш легким. Методика може бути пропонована також у курсах диференціальних рівнянь – звичайних і з частинними похідними.