ДИЛАТАЦІЇ ПЛОЩИНИ У ШКМ ТА ТЕОРІЇ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ ПЛОЩИНИ ДЛЯ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ
DOI:
https://doi.org/10.31110/fmo2026.v41i2-07Ключові слова:
геометричні перетворення, перетворення подібності, дилатація, гомотетія, аналітична геометрія, шкільний курс геометрії, гурткова робота в школі, майбутній вчитель математикиАнотація
Формулювання проблеми. Геометричні перетворення є важливим компонентом шкільного курсу геометрії та підготовки майбутніх учителів математики. Разом із тим, аналіз змісту шкільних підручників і навчально-методичної літератури свідчить про наявність певних методологічних неточностей у трактуванні понять геометричних перетворень та їх властивостей, замість перетворень площини розглядаються перетворення фігур. Це обумовлює необхідність більш системного й науково обґрунтованого висвітлення теми перетворень подібності та їх окремих підгруп у курсі аналітичної геометрії для майбутніх учителів математики.
Методи та матеріали. У дослідженні використано теоретичні методи науково-педагогічного пошуку, зокрема аналіз та узагальнення наукової і навчально-методичної літератури, а також математичні методи доведення і обґрунтування геометричних тверджень.
Результати. У статті розглянуто дилатації площини як підгрупу групи перетворень подібності. Проаналізовано їх основні властивості та інваріанти — геометричні властивості фігур і відношення між ними, що зберігаються при відповідних перетвореннях. Доведено, що дилатації площини у групі перетворень вичерпуються гомотетіями, паралельними перенесеннями та їх композиціями. Показано, що дилатації утворюють групу геометричних перетворень, а також наведено теоретичні твердження та приклади задач, які ілюструють застосування цих перетворень у дослідженні геометричних об’єктів.
Висновки. Проведене дослідження дозволяє систематизувати уявлення про дилатації площини як підгрупу перетворень подібності та уточнити їх місце у структурі геометричних перетворень. Отримані результати можуть бути використані під час викладання аналітичної геометрії у закладах вищої освіти, а також у шкільному курсі геометрії, зокрема на факультативних заняттях, у гуртковій та позакласній роботі. Перспективи подальших досліджень пов’язані з розширенням аналізу підгруп перетворень подібності та їх застосуванням у методиці навчання геометрії.
Завантажити
Посилання
Andreescu, T., Mushkarov, O., & Stoyanov, L. (2006). Geometric problems on maxima and minima. Birkhäuser Boston.
Johnson, R. A. (2013). Advanced Euclidean geometry. Courier Corporation.
Bevz, H. P., Konforovych, A. H., Reznichenko, Z. O., & Chenakal, Ye. O. (1982). Matematyka: Posibnyk dlia fakultatyvnykh zaniat u 7 kl [Mathematics: A Guide for Optional Classes in Grade 7]. Radianska shkola.
Borovyk, V. N., Zaichenko, I. V., Murach, M. M., & Yakovets, V. P. (2004). Heometrychni peretvorennia ploshchyny [Geometric Transformations of the Plane]. Universytetska knyha.
Vyvalniuk, L. M., Sokolenko, O. I., Murach, M. M., Shydlovska, L. M., & Kovalenko, I. P. (1998). Matematyka, 10. Posibnyk dlia shkil ta klasiv z pohlyblenym vyvchenniam matematyky [Mathematics, 10. A Guide for Schools and Classes with Advanced Study of Mathematics]. Osvita.
Hotman, Э. H., & Skopets, Z. A. (1988). Zadacha odna – reshenyia raznye [One Problem – Different Solutions]. Radianska shkola.
Ister, O. S. (2017). Heometriia: pidruchnyk dlia 9 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Geometry: a textbook for the 9th grade of secondary schools]. Heneza.
Ister, O. S. (2021). Heometriia: pidruchnyk dlia 8 klasu zakladiv zahalnoi serednoi osvity [Geometry: a textbook for the 8th grade of secondary schools]. (2-he vyd.). Heneza.
Kokseter, H. S., & Hreittser, S. L. (1978). Novye vstrechy s heometryei [New encounters with geometry]. Nauka.
Kolmohorov, A. M., Semenovych, O. F., Nahibin, F. F., & Cherkasov, R. S. (1972). Heometriia. 6 klas [Geometry. Grade 6]. Radianska shkola.
Kravchuk, O. M. (2018). Heometrychni peretvorennia. Chastyna I. Ortohonalni peretvorennia: metodychni rekomendatsii do vyvchennia vybirkovoi navchalnoi dystsypliny «Heometrychni peretvorennia» [Geometric transformations. Part I. Orthogonal transformations: methodological recommendations for studying the elective academic discipline "Geometric transformations"].
Lenchuk, I. (2016). Metod peretvoren: paralelne perenesennia [Transformation method: parallel transfer]. Matematyka v ridnii shkoli – Mathematics in the native school, 3, 37–42.
Lenchuk, I. H., & Pratsovytyi, M. V. (2019). Povorot navkolo priamoi v metrychnii stereometrii [Rotation around a straight line in metric stereometry]. Matematyka. Informatsiini tekhnolohii. Osvita – Mathematics. Information technologies. Education, 6, 57–65.
Merzliak, A. H., Polonskyi, V. B., & Yakir, M. S. (2017a). Heometriia dlia zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv z pohlyblenym vyvchenniam matematyky: pidruchnyk dlia 9 klasu [Geometry for general educational institutions with in-depth study of mathematics: a textbook for grade 9]. Himnaziia.
Merzliak, A. H., Polonskyi, V. B., & Yakir, M. S. (2017b). Heometriia: pidruchnyk dlia 8 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Geometry: a textbook for grade 8 of general educational institutions] (2-he vyd.). Himnaziia.
Merzliak, A. H., Polonskyi, V. B., & Yakir, M. S. (2017c). Heometriia: pidruchnyk dlia 9 klasu zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv [Geometry: a textbook for the 9th grade of general education institutions]. Himnaziia.
Merzliak, A. H., Polonskyi, V. B., & Yakir, M. S. (2021). Heometriia: pidruchnyk dlia 8 klasu z pohlyblenym vyvchenniam matematyky zakladiv zahalnoi serednoi osvity [Geometry: a textbook for the 8th grade with in-depth study of mathematics of general secondary education institutions]. (2-he vyd.). Himnaziia.
Pohorielov, O. V. (1993). Heometriia: pidruchnyk dlia 7–11 klasiv serednoi shkoly [Geometry: a textbook for the 7th–11th grades of secondary school]. Osvita.
Ponaryn, Ya. P., & Skopets, Z. A. (1981). Peremeshchenyia y podobyia ploskosty [Displacements and similarity of planes]. Radianska shkola.
Pratsovytyi, M. V. (2007). Heometrychni peretvorennia. Teoretyko-hrupovyi pohliad na heometriiu [Geometric transformations. Group-theoretic view of geometry]. Vyd-vo NPU imeni M. P. Drahomanova.
Pratsovytyi, M. V. (2013a). Analitychna heometriia. Heometrychni peretvorennia. Peretvorennia podibnosti z elementamy teorii fraktaliv [Analytical geometry. Geometric transformations. Similarity transformations with elements of fractal theory]. Vyd-vo NPU imeni M. P. Drahomanova.
Pratsovytyi, M. V. (2013b). Heometrychni peretvorennia. Rukhy ploshchyny [Geometric transformations. Plane motions]. Vyd-vo NPU imeni M. P. Drahomanova.
Semenikhina, O. V., & Drushliak, M. H. (2014). Heometrychni peretvorennia na ploshchyni i komp’iuterni instrumentarii yikh realizatsii [Geometric transformations on the plane and computer tools for their implementation]. Kompiuter u shkoli ta simi – Computer in school and family, 7, 25–29. URL: http://nbuv.gov.ua/UJRN/komp_2014_7_8
Shkolnyi, O. V. (2025). Vyvchennia heometrychnykh peretvoren u 9 klasi NUSh za avtorskym pidruchnykom intehrovanoho kursu matematyky [tudy of geometric transformations in the 9th grade of the National Secondary School according to the author's textbook of the integrated course of mathematics]. Dydaktyka matematyky: teoriia, dosvid, innovatsii – Didactics of mathematics: theory, experience, innovations, 4, 7–19. https://doi.org/10.31652/3041-2277-2025-4-7-19
Shkolnyi, O., Nelin, Ye., Mylianyk, A., & Prostakova, Yu. (2025). Matematyka. Posibnyk yak chastyna pidruchnyka intehrovanoho kursu dlia 9 klasu zakladiv zahalnoi serednoi osvity (u 2-kh chastynakh) [Mathematics. Manual as part of the textbook of the integrated course for the 9th grade of general secondary education institutions (in 2 parts)]. Chastyna 1. Ranok.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Категорії
Як цитувати
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Микола Працьовитий, Наталя Правіцка, Софія Ратушняк
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
- Автори передають журналу право першої публікації свого рукопису на умовах ліцензії Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0), котра дозволяє іншим особам вільно використовувати (читати, копіювати і роздруковувати) представлені матеріали, здійснювати пошук та посилатись на опубліковані статті, поширювати їх повний текст з будь-якою законною некомерційною метою (у тому числі, з навчальною або науковою) та обов'язковим посиланням на авторів робіт і первинну публікацію у цьому журналі.
- Опубліковані оригінальні статті в подальшому не можуть використовуватись користувачами (окрім авторів) з комерційною метою або поширюватись сторонніми організаціями-посередниками на платній основі.
Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0)