ТРИ КРОКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ОЗНАЧЕННЯ ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ
DOI:
https://doi.org/10.31110/fmo2026.v41i1-01Ключові слова:
вища математика, математичний аналіз, границя послідовності, методика формування математичного поняття, послідовність, границя послідовності дійсних чисел, границя послідовності комплексних чисел, три кроки, алгоритмізація, оцінки, розв’язування нерівності, транзитивність відношення порядку, функція обернена до функції математична освітаАнотація
Формулювання проблеми. Важливим компонентом математичної підготовки є володіння студентами понятійним апаратом математичних дисциплін, які в більшості вищих навчальних закладів об’єднують під назвою вища математика, зокрема, математичного аналізу. Об’єктом вивчення класичного математичного аналізу є функція, різноманітні функціональні залежності, предметом вивчення – властивості функцій, а основним інструментом вивчення цих властивостей є граничний перехід. Для курсів математичного аналізу ключовим поняттям є поняття границі. Пояснюється це тим, що такі важливі поняття цих дисциплін як границя функції, неперервність функції, похідна функції, різні види інтегралів вводяться, спираючись саме на операцію граничного переходу. Тому успішність оволодіння студентами цими курсами великою мірою визначається рівнем оволодіння поняттям границі, що актуалізує проблему розробки ефективної стратегії формування у здобувачів освіти поняття границі послідовності, в тому числі і в задачах практичного використання означень поняття границі.
Матеріали і методи. Використано аналіз науково-методичної літератури та навчальних видань з вищої математики і математичного аналізу; систематизацію вітчизняного і зарубіжного досвіду введення поняття границі; узагальнення авторського досвіду організації практичних занять і добору вправ, у яких доведення здійснюється без апеляції до готових теорем, лише на основі означення.
Результати. Вироблено стратегію формування у здобувачів освіти поняття границі послідовності, розуміння та закріплення його змісту на практичних заняттях. Обґрунтовано «алгоритмічний» підхід розв’язування задач застосування поняття границі послідовності у вигляді трьох послідовних кроків, який ґрунтується на використанні означень границі послідовності «e-n0». Алгоритм зменшує когнітивне навантаження на здобувачів освіти на початку теми, допомагає відділити евристику оцінок від формального завершення доведення, формує навичку керування похибкою та усвідомлення залежності n₀(ε). Алгоритм слугує основою методичних рекомендацій для практичних занять і активізує навички доведення нерівностей як інструментів аналізу.
Висновки. Особливостями запропонованої методики застосування поняття границі послідовності на практичних заняттях є те, що студенти самостійно можуть засвоїти зміст та важливість кожної деталі означення границі послідовності. Подальші розвідки доцільно спрямувати на алгоритмізацію застосування означень границі функції однієї змінної в точці.
Завантажити
Посилання
Bilotskyi, M.M. (2013). Pro alhorytmizatsiiu protsesu rozv’iazuvannia zadach z vykorystanniam hranytsi poslidovnosti [On the algorithmization of the problem-solving process using the sequence limit]. Dydaktyka matematyky: problemy i doslidzhennia – Didactics Of Mathematics: Problems And Investigations: Mizhnarodnyi zbirnyk nauk. robit, 40, 66 – 72. (Ukrainian).
Tomashchuk, O., Samusenko, P., Leshchynskii, O., & Illicheva, L. (2024). Metodyka formuvannia poniattia hranytsi poslidovnosti u studentiv zakladiv vyshchoi osvity [Methods of forming the concept of sequence limits for students of higher education institutions]. Fizyko-matematychna osvita – Physical and Mathematical Education, 39(2), 60-67. https://doi.org/10.31110/fmo2024.v39i2-08 (Ukrainian).
Bosovskyi, M. V. (2010). Nastupnist u vyvchenni teorii hranyts u zahalnoosvitnikh ta vyshchykh navchalnykh zakladakh [Continuity in the study of boundary theory in general and higher education institutions]. Dys. kand. ped.nauk, Cherkaskyi natsionalnyi universytet imeni B. Khmelnytskoho. (Ukrainian).
Mykhalin, H.O. (2003). Profesiina pidhotovka vchytelia matematyky u protsesi navchannia matematychnoho analizu [Professional training of mathematics teachers in the process of teaching mathematical analysis]. RNNTs «DINIT». (Ukrainian).
Tretiak, M.V., & Bosovskyi, M.V. (2017). Deiaki rozdumy pro vyvchennia hranytsi chyslovoi poslidovnosti [Some thoughts on studying the limit of a numerical sequence]. Science and Education a New Dimension: Pedagogy and Psychology, 135, 14-17. https://journals.indexcopernicus.com/api/file/viewByFileId/557428.pdf (Ukrainian).
Shkil, M. I., Kolesnyk, T. V., & Kotlova, V. M. (1984). Vyshcha matematyka. Elementy analitychnoi heometrii. Dyferentsialne ta intehralne chyslennia funktsii odniiei diisnoi zminnoi [Higher Mathematics. Elements of Analytical Geometry. Differential and Integral Calculus of a Function of One Real Variable]. K.: Vyshcha shkola. (Ukrainian).
Dorohovtsev, A. Ya. (1993). Matematychnyi analiz [Mathematical analysis]: Pidruchnyk. Chastyna 1.K. :Lybid. (Ukrainian).
Diuzhenkova, L. I., Kolesnyk, T. V., Liashchenko, M. Ya., Mykhalin, H. O., & Shkil, M. I. (2002). Matematychnyi analiz u zadachakh i prykladakh [Mathematical analysis in problems and examples]. Chastyna I. K.: Vyshcha shkola. (Ukrainian).
Diuzhenkova, L. I., Diuzhenkova, O. Yu., & Mykhalin, H. O. (2002). Vyshcha matematyka. Pryklady i zadachi [Higher Mathematics. Examples and Problems]. K. :Vydavnychyi tsentr «Akademiia». (Ukrainian).
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Як цитувати
Ліцензія
Авторське право (c) 2026 Микола Білоцький
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
- Автори передають журналу право першої публікації свого рукопису на умовах ліцензії Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0), котра дозволяє іншим особам вільно використовувати (читати, копіювати і роздруковувати) представлені матеріали, здійснювати пошук та посилатись на опубліковані статті, поширювати їх повний текст з будь-якою законною некомерційною метою (у тому числі, з навчальною або науковою) та обов'язковим посиланням на авторів робіт і первинну публікацію у цьому журналі.
- Опубліковані оригінальні статті в подальшому не можуть використовуватись користувачами (окрім авторів) з комерційною метою або поширюватись сторонніми організаціями-посередниками на платній основі.
Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0)