ЕКВІАФІННІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ У МАТЕМАТИЧНІЙ ОСВІТІ ШКОЛЯРІВ ТА МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ

Анотація

Робота присвячена одному з класів афінних перетворень площини (бієкцій площини на себе, які зберігають колінеарність точок), а саме перетворенням, головним інваріантом яких є площі квадровних фігур. Вони називаються еквіафінними і є метричними перетвореннями. Тому важливі як для математики, так і для її практичних застосувань.

Формулювання проблеми. Афінні, зокрема еквіафінні, перетворення площини не вивчаються учнями у ШКГ, але вони фігурують у програмі університетського курсу Аналітичної геометрії для майбутніх учителів математики. Еквіафінні перетворення є окремим сегментом у темі ‘’Афінні перетворення площини’’ (вони утворюють підгрупу групи афінних перетворень відносно операції «композиція перетворень»), яскравими представниками цього класу перетворень є гіперболічний та еліптичний повороти. Теоретичне висвітлення теми Еквіафінні перетворення легко зробити вповні автономним, тоді як важко знайти рафінований виклад питання «Еквіафінні перетворення площини» в навчально-методичній літературі (точніше, його просто не існує). Це і стало головною мотивацією для підготовки цієї роботи. Вмотивований вчитель математики може знайти у запронованому матеріалі вступ до теорії еквіафінних перетворень площини.

Методи та матеріали. Застосовано теоретичні методи науково-педагогічного пошуку. Теоретичний аналіз джерел навчальної літератури засвідчує практичну відсутність інформації, яка стосується еквіафінних перетворень площини, а вони утворюють важливу підгрупу групи всіх афінних перетворень і важливі для застосувань. Більше того, знайомство школярів з афінними перетвореннями варто розпочинати саме з еквіафінних перетворень.

Результати. У статті здійснено елементарний виклад навчального теоретичного матеріалу з теми «еквіафінні перетворення площини». Він супроводжується коментарями і прикладами застосувань, задачами з розв’язками та задачами для самостійного розв’язування. Зокрема, у роботі виведено формули для обчислення площі трикутника, побудованого на двох векторах як на сторонах, та площі трикутника, визначеного координатами вершин у прямокутній декартовій системі координат, які є допоміжними фактами при обґрунтуванні критерію еквіафінності перетворення. Окрему увагу приділено двом «породним» еквіафінним перетворенням – гіперболічному та еліптичному повороту площини. У роботі також доведено ознаку руху у сім’ї афінних перетворень площини.

Висновки. Наведений виклад навчального матеріалу може бути використаний вчителем математики у системі гурткової роботи в школі або викладачами аналітичної геометрії для майбутніх учителів математики; обговорюється доцільність вивчення теми і її значущість, альтернативність у доведенні фактів; формулюються проблеми, пов’язанні з методикою вивчення теми, зокрема зі збалансованістю задачного матеріалу.