ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯ ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ПРИ ВИВЧЕННІ МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРІВ
DOI:
https://doi.org/10.31110/2413-1571-2023-038-5-001Ключові слова:
точка, відстань, метрика, метричний простір, кут, кутова характеристика, прямолінійне та плоске розміщення точокАнотація
Постановка проблеми. При вивченні метричних просторів у здобувачів вищої освіти часто виникають труднощі з розумінням основних понять та властивостей цих просторів. Це, у значній мірі, є наслідком значного рівня формалізації таких понять з одного боку, та збереження відповідних формулювань та назв, звичних для здобувачів зі шкільного курсу математики. Найпростіші поняття взаємного розміщення точок метричного простору, наприклад, прямолінійність їх розміщення, у різних просторах можуть набувати різних властивостей. Інколи ці властивості ніяким чином не узгоджуються з відповідними властивостями у звичних для здобувачів евклідових просторах. Для подолання вказаних труднощів доцільно використовувати методи геометричної інтерпретації та візуалізації цих властивостей. Доцільним, при цьому, є використання елементів метричної геометрії. Її методи дозволяють інтерпретувати геометричні особливості взаємного розміщення точок метричного простору у звичних для здобувачів вищої освіти декартових (прямокутних) системах координат. Більше того, стає можливим візуалізація цих особливостей за допомогою графічних редакторів, оскільки вони, як правило, використовують числові значення координат точок для їх візуалізації. У роботі наведено приклади візуалізації властивості плоского розміщення чотирьох точок неевклідового метричного простору у прямокутній тривимірній системі координат.
Матеріали та методи. Результати роботи отримані на підставі аналізу діючих підручників з вищої математики для закладів вищої освіти, наукових публікацій та апробовані при читанні відповідного спецкурсу студентам спеціальності «014.04 Середня освіта (математика)» магістерського рівня вищої освіти. Для отримання зображень використовувалось динамічне геометричне середовище GeoGebra 3D.
Результати. На основі означення кута як упорядкованої трійки точок довільного метричного простору, та кутової характеристики цього кута, встановлено факт плоского розміщення чотирьох точок неевклідового метричного простору,
та наведено приклади цифрової візуалізації цього розміщення за допомогою динамічного геометричного середовища GeoGebra 3D. Така візуалізація дає можливість знайомити здобувачів вищої освіти з найпростішими особливостями неевклідових геометрій.
Висновки. Аналітичний апарат метричної геометрії дає можливість сформувати узагальнене поняття плоского розміщення точок довільного метричного простору. Використання цифрових технологій, зокрема графічних редакторів, дозволяє зробити візуалізацію окремих особливостей взаємного розміщення точок довільного метричного простору. Використання достатньо простих аналітичних перетворень при побудові поняття плоского розміщення точок робить можливим знайомство здобувачів загальної середньої освіти, які навчаються у профільних класах з поглибленим вивченням математики, з основами неевклідових геометрій.
Завантажити
Посилання
Valko, K., Kuzmich,V., Kuzmich, L., & Savchenko, O.(2022). Interpretatsiia vzaiemnoho rozmishchennia tochok metrychnoho prostoru za dopomohoiu hrafichnykh zasobiv [Interpretation of mutual location of points of metric space by help of graphic means]. Fizyko-matematychna osvita – Physical and Mathematical Education, 34(2), 7-11. https://doi.org/10.31110/2413-1571-2022-034-2-001. (in Ukrainian).
Halushchak, S. I. (2016). Deyaki heometrychni kryvi u sensi d-vidrizka [Some geometric curves in the sense of a d-segment]. Prykarpatsʹkyy visnyk NTSH. Chyslo – Prykarpatsky herald of the NTSh. Numeric, 1(33), 157–166 (in Ukrainian).
Davydov, M. O. (1979). Kurs matematychnoho analizu. Chastyna 3 [Course of mathematical analysis. Part 3]. Kyiv: Vyshcha shkola (in Ukrainian).
Kolmohorov, A. M. & Fomin, S. V. (1974). Elementy teoriyi funktsiy i funktsionalʹnoho analizu [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Kyyiv: Vyshcha shkola (in Ukrainian).
Sledzinskij, I. F. (1973). Formirovanie ponjatij rasstojanija i metricheskogo prostranstva u uchashhihsja obshheobrazovatel'noj srednej shkoly [Formation of the concepts of distance and metric space in secondary school students]. Extended abstract of candidate’s thesis. KSPI named after A.M. Gorky (in Ukrainian).
Berger, M. (2009). Geometry I. Springer.
Blumenthal, L. (1970). Theory and applications of distance geometry. Chelsea Publishing Company.
Burago, D., Burago, Y. & Ivanov, S. (2001). A course in metric geometry. AMS.
Dovgoshei, A. A. & Dordovskii, D. V. (2009). Betweenness relation and isometric imbeddings of metric spaces. Ukr. Math. J., 61(10), 1556–1567.
Kuz’mich, V. I. & Kuzmich, L. V. (2021). Elements of non-Euclidean geometry in the formation of the concept of rectilinear placement of points in schoolchildren. Journal of Physics: Conference Series, 1840, 012004.
Kuz’mich, V. I., Kuzmich, L. V., Savchenko, A. G., & Valko, K. V. (2022). Geometric interpretation and visualization of particular geometric concepts at metric spaces study. Journal of Physics: Conference Series, 2288, 012024.
Lénárt, I. (2021). Comparative Geometry in distance education. Journal of Physics: Conference Series, 1840(1), 012003.
Lénárt, I. (2020). The Algebra of Projective Spheres on Plane, Sphere and Hemisphere. Journal of Applied Mathematics and Physics, 10(8), 2286-2333.
Lénárt, I., & Rybak, A. (2017). Comparative Geometry in Primary and Secondary School. In: The Pedagogy of Mathematics: Is There a Unifying Logic?. Johannesburg: Mapungubwe Institute for Strategic Reflection (MISTRA), 107-124.
Menger, K. (1928). Untersuchungen uber allgemeine Metric. Math. Ann., 75–163.
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Категорії
Як цитувати
Ліцензія
Авторське право (c) 2023 Катерина Валько, Валерій Кузьмич, Людмила Кузьмич, Олександр Савченко
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
- Автори передають журналу право першої публікації свого рукопису на умовах ліцензії Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0), котра дозволяє іншим особам вільно використовувати (читати, копіювати і роздруковувати) представлені матеріали, здійснювати пошук та посилатись на опубліковані статті, поширювати їх повний текст з будь-якою законною некомерційною метою (у тому числі, з навчальною або науковою) та обов'язковим посиланням на авторів робіт і первинну публікацію у цьому журналі.
- Опубліковані оригінальні статті в подальшому не можуть використовуватись користувачами (окрім авторів) з комерційною метою або поширюватись сторонніми організаціями-посередниками на платній основі.
Creative Commons ("Із зазначенням авторства - Некомерційне використання - Поширення на тих же умовах") 4.0 Міжнародна (CC BY-NC-SA 4.0)